Das Zahlenland

Elementare Mathematik fantasievoll erleben

von Gerhard Friedrich

Der Zeitraum der frühen Kindheit erfährt seit der Jahrtausendwende in Deutschland eine deutliche bildungspolitische Aufwertung. In nahezu allen 16 Bundesländern wurden spätestens nach dem ersten Pisa-Schock Rahmen- oder Orientierungspläne, Leitlinien und Grundsätze frühkindlicher Bildung, Bildungsprogramme, -leitfäden, -empfehlungen usw. erarbeitet, die zwar gewiss nicht Identisches wiedergeben, sich aber durch eine große Übereinstimmung darin auszeichnen, dass dem Bereich der frühen mathematischen Bildung ein ganz erheblicher Stellenwert beigemessen werden soll.

Doch ist das überhaupt sinnvoll? Ist es nicht vielmehr so, dass für Kinder unter sechs Jahren der Umgang mit Mathematik aus entwicklungspsychologischen Gründen eine Überforderung darstellt? Lange Zeit glaubte man dies zweifellos. Ein möglicher Grund könnten die Thesen des 1980 verstorbenen Schweizer Entwicklungspsychologen Jean Piaget sein. Piaget ging davon aus, dass die kognitive Entwicklung bei Kindern in klar aufeinander folgenden Stufen verläuft. Die Kindergartenzeit und die Zeit davor lässt sich nach Piaget in die so genannte „voroperationale“ oder „präoperative“ Phase zusammenfassen, die durch die Unfähigkeit beschrieben werden kann, beim Erfassen der Welt mehrere Informationen miteinander logisch zu verbinden bzw. zu kombinieren. Mit Mathematik, dem Inbegriff menschlicher Logik und der Königsdisziplin abstrakter Weltbeschreibung, könne man Kindergartenkinder, so eine eventuelle Konsequenz, deshalb nur plagen, denn davon verstehen würden sie ohnehin nichts.

Bekannt sind hier vor allem Piagets geniale Experimente zum Begriff der Invarianz. Unter Invarianz versteht man in der Entwicklungspsychologie und der Mathematikdidaktik die Eigenschaft von Mengen, ihre Anzahl unverändert zu lassen, wenn deren Anordnung verändert wird. Nun behaupten aber die meisten Kinder im voroperationalen Kindergartenalter, dass eine Flüssigkeit, welche von einem hohen Gefäß in ein flaches umgeschüttet wird, weniger wird. Umgekehrt glauben diese Kinder auch, dass eng aneinander liegende Perlen mehr werden, wenn diese auseinander gezogen werden. Die Invarianz einer Flüssigkeitsmenge, so das vermeintliche Ergebnis, können Kinder deshalb vor der so genannten „operationalen Phase“ – sie beginnt in etwa mit dem Schuleintritt – grundsätzlich nicht erkennen.

Nur, so müssen wir heute kritisch anmerken, hätte Piaget seine Versuchskinder das Wasser ein paar Mal selbst von Glas zu Glas umschütten lassen, wäre die Mehrheit der Kinder mit ziemlicher Sicherheit zum richtigen Ergebnis gekommen. ‚Learning by Doing’ heißt also das Lerngesetz, das es anzuwenden gilt. Auch wissen wir heute, dass die fehlerhaften Antworten der Kinder bei den Experimenten von Piaget sehr stark von der Abstraktheit der Aufgabenstellungen und den damit verbundenen Fragen mitbedingt wurden. Würde man den Vorschulkindern beispielsweise anstatt Perlenreihen Reihen aus Schokoladenstücken mit der Zusatzinformation anbieten, auf diese Weise immer und überall die Menge an Süßigkeiten vermehren zu können, die Kinder würden den „Zaubertrick“ durchschauen.

Ein Weiteres zu dieser negativen Einstellung in Bezug auf eine frühe mathematische Bildung dürften die elementarpädagogischen Ansätze in den 1960er und 1970er Jahren beigetragen haben. In diesem Zeitraum wurden in (West-)Deutschland in Folge des „Sputnik-Schocks“ schon einmal große Anstrengungen unternommen, Kindern bereits im Kindergartenalter in die Grundstrukturen des Faches Mathematik einzuführen. Dieser Versuch ist nicht zuletzt deshalb auf der ganzen Linie gescheitert, weil die Inhalte dieser „New Math“ – wir erinnern uns an die Mengenlehre – von der Fachwissenschaft der Mathematik, insbesondere von der Strukturmathematik abgeleitet wurden und dabei zentrale entwicklungs- und lernpsychologische, neurobiologische und elementarpädagogische Voraussetzungen ausblendete.

Kinder, und dies zeigt die hier vorgestellte Zahlenlandidee sehr eindrucksvoll, sind nämlich durchaus in der Lage, mathematische Zusammenhänge zu durchschauen, allerdings aber nur dann, wenn die Inhalte in konkreter Weise der Lebenswelt der Kinder entstammen. Nur so erfahren sie für die Kinder einen Sinn.

Die Grundideen des Zahlenlandkonzepts
Das Zahlenlandkonzept selbst bzw. dessen methodische Umsetzung basiert auf einer einfachen Grundidee, nämlich auf der sehr konkreten Interpretation des aus der Didaktik der Mathematik stammenden Begriffs „Zahlenraum“. Dieser Begriff verweist auf den engen Zusammenhang der Zahlen zur Geometrie. Für diesen Zahlenraum von eins bis zehn wurde nach einer streng mathematischen Systematik ein Ort geschaffen, in welchem die Zahlen „zu Hause sind“: das so genannte Zahlenland.

In diesem „Land der Zahlen“ erhält jede Zahl von eins bis zehn einen festen „geometrisch dargestellten Wohnort“ (Kreis, Ellipse, Dreieck, Viereck,…, Zehneck) und in Form eines Zahlentiers oder einer sonstigen Zahlenpuppe einen spezifischen Charakter bzw. eine unverwechselbare Identität. Mit Hilfe dieser Zahlentiere, die in ihrer Form den einzelnen Ziffern nachempfunden sind und die zugleich den Anzahlaspekt der jeweiligen Zahl repräsentieren, werden vielfältige Aktionen ausgeführt. Das Zahlenland ist dementsprechend das pädagogische Äquivalent für den fachdidaktischen Begriff des Zahlenraums. Im Zahlenland sind die Zahlen zu Hause, sie besitzen beseelte Eigenschaften und geben in personalisierter Weise ihre mathematischen Eigenschaften kund.

Wesentliche Elemente des Zahlenlandes sind neben den bereits erwähnten „Zahlengärten“ (geometrische Formen) und Zahlentieren die Zahlenhäuser und -türme, besondere Zahlenmärchen, speziell für dieses Projekt komponierte Musik und ein Zahlenweg.

Zu jeder Zahl gibt es entsprechende Märchen mit mathematischen Inhalten. Eine Geschichte über die Eins erzählt etwa von der Eins und ihrem Einhorn, dem ein Zahlkobold sein Horn gestohlen hat und das deshalb nun ein „Keinhorn“ ist.
Die Geschichte der Zwei handelt davon, dass die Zwei sich darüber ärgert, weil die Menschen meinen, sie stottere, obwohl das gar nicht stimmt, denn „alle alle Zweien Zweien reden reden so so wie wie sie sie“.
Es gibt eine Drei, die drei Wünsche erfüllen kann, eine kranke Vier, deren Krankheit dazu führt, das alle Viererdinge (Tischbeine, Autobereifung usw.) durcheinander geraten, oder eine Fünf, die internationalen Besuch von fünf Kindern aus den fünf Kontinenten bekommt usw. Korrespondierend zu diesen Zahlengeschichten arbeiten wir mit Zahlenliedern (Abbildung 4), die sich bezüglich des Textinhaltes an diesen Märchen orientieren, zugleich jedoch streng „mathematisch“ komponiert wurden. So singt die „Eins“ ihr Lied mit nur einem einzigen Ton im Einertakt. Die „Zwei“ entsprechend mit zwei Tönen im 2/4 Takt, die „Drei“ liebt den Walzer und kommt mit genau drei Tönen aus usw.

Theoretische Hintergründe
Was schon Heinrich Pestalozzi (1746-1827) forderte – eine gute Erziehung müsse mit „Kopf, Herz und Hand“ erfolgen –, entspricht auch unseren modernen Einsichten. Informationen werden dann am besten gespeichert, wenn sie auf möglichst vielfältige Weise dargeboten und verarbeitet werden. Gerade die moderne Hirnforschung unterstützt nachdrücklich Pestalozzis Forderung. So berechtigt dieser Anspruch nach „ganzheitlichem Lernen“ ist, so ist doch oft unklar, was darunter verstanden werden soll.

Meist wird Ganzheitlichkeit – ganz im Sinne von Pestalozzi – auf der Subjektseite, also beim Lernenden angesiedelt. Ganzheitliches Lernen beinhaltet dabei das möglichst vielfältige Zusammenspiel verschiedener Sinne, z.B. Augen, Tastsinn, Gehör, Gleichgewichtssinn und Bewegungssinn. Der Wahrnehmungsprozess bildet dabei ein ganzheitliches Ereignis, bei dem unterschiedliche Sinne eine Gesamtempfindung hervorbringen.
Es geht aber auch darum, den ganzen Menschen mit der ganzen Sache zusammenzubringen. Bezogen auf unseren Lerngegenstand des Zahlenraums von eins bis zehn beinhaltet ganzheitliches Lernen auf dieser Objektseite die gesamte sinnliche Erfahrung der Bedeutungsvielfalt dieser Grundzahlen. In der Didaktik der Mathematik sprechen wir von Zahlaspekten. Im Einzelnen sind dies:

– Kardinaler Zahlaspekt: Zahlen werden benutzt, um die Anzahl oder Mächtigkeit der Elemente eine Menge anzugeben (z.B. 6 Äpfel, 3 Tannenzapfen).
– Ordinaler Zahlaspekt: Zahlen werden benutzt, um einen Rangplatz in einer geordneten Menge anzugeben (z.B. der Erste, der Dritte usw.).
– Nominaler Zahlaspekt bzw. Codierungsaspekt: Zahlen werden als Namen zur Benennung oder Kennzeichnung benutzt (z.B. Postleitzahlen oder Telefonnummern).
– Kultureller oder narrativer Zahlaspekt: Zahlen kommen in Märchen, Riten, Erzählungen usw. vor und besitzen eine symbolische oder mythische Bedeutung (z.B. die Zahl 13 als Zahl des Unglücks, die Zahl sieben als Glückszahl).
– Maßzahlaspekt: Zahlen werden zur Quantifizierung von Größen benutzt (z.B. zwei Minuten, fünf Kilometer).
– Operatoraspekt: Zahlen werden in Verbindung mit einer Funktion benutzt, z.B. als Vielfaches einer Handlung (zweimal Rasenmähen, dreimal Einkaufen).
– Geometrischer Zahlaspekt: Zahlen werden zur Identifikation geometrischer Muster benutzt (z.B. ein Fünfeck, ein Dreieck).
– Rechenaspekt: Zahlen geben das Ergebnis einer Rechung, z.B. einer Addition an (z.B. 5=3+2).

Im Zahlenland selbst sieht dies beispielsweise so aus: Der Zahlengarten der Zahl Fünf befindet sich zwischen dem der Vier und dem der Sechs (ordinaler Zahlaspekt). Der Garten selbst ist als regelmäßiges Fünfeck konstruiert (geometrischer Aspekt) und kann an jeder Ecke verziert werden (Eins-zu-Eins-Zuordnung). Im Garten befindet sich ein Haus mit fünf Fenstern (kardinaler Zahlaspekt) und aufsteckbarer Hausnummer (Kodierungsaspekt) sowie ein Zahlenturm, mit dessen Hilfe Zahlzerlegungen (Rechenaspekt: 1+4 oder 3+2) veranschaulicht bzw. konstruiert werden können. Neben den aufgelisteten Zahlaspekten suchen wir darüber hinaus die Zahlen in musikalischen Strukturen und vor allem in der konkreten Lebenswelt der Kinder.
Wir sehen also, dass wir die Forderung nach „ganzheitlichem Lernen“ sowohl auf den Lernenden selbst (Subjektseite) und auf den Lerngegenstand (Objektseite) beziehen können.

Weitere methodische Ideen schöpft das Projekt aus verschiedenen Wissensbereichen, von denen ich die zwei wichtigsten noch kurz erwähnen möchten. Der erste Bereich ist die „Neurodidaktik“. Ich benutze diesen Begriff als funktionalen Hilfsbegriff, um die Zusammenhänge zwischen den neurobiologischen Bedingungen des Menschen und seiner Lernfähigkeit zu beschreiben. Die Schlüsselidee ist dabei die, dass die Plastizität des Gehirns – also seine materielle Form- oder Veränderbarkeit – und Lernen in unauflöslicher Beziehung zueinander stehen.

Aus der Hirnforschung wissen wir beispielsweise, dass das Gedächtnis der Kinder in erster Linie durch konkrete Situationen und besondere Erlebnisse geprägt ist. Dies gilt insbesondere, wenn diese Erlebnisse oder Ereignisse einen Neuigkeitswert besitzen und den Kindern bedeutsam erscheinen. Aber Kinder können sich nicht nur die Ereignisse gut merken, sondern auch die Orte, an denen sie stattfanden. Beim Einspeichern einer Episode werden auch die zugehörigen Ortskoordinaten eingespeichert. Diesen beiden Tatsachen versuchen wir dadurch Rechnung zu tragen, indem jede Zahl einen festen Ort im Raum erhält (die Zahlengärten liegen immer in der gleichen Anordnung) und wir unsere Grundzahlen zu „Zahlereignissen“ werden lassen. Aus diesem Grund arbeiten wir neben vielgestaltigen Spielen vor allem mit den erwähnten Zahlenliedern und Zahlengeschichten oder auch Abzählreimen mit dem Ziel, die Zahlen in episodische Handlungsabläufe einzubetten.

Der zweite Bereich ist die Entwicklungspsychologie in Verbindung mit der Elementarpädagogik. Bei der Begegnung der Vorschulkinder mit der Welt der elementaren Mathematik bzw. der Zahlen arbeiten wir ganz bewusst mit so genannten Anthropomorphismen. Darunter versteht man ganz allgemein die Zuschreibung menschlicher Eigenschaften oder Verhaltensweisen auf nichtmenschliche Objekte oder auch Tiere. In unserem Konzept werden gezielt konstruierte Anthropomorphismen (in Form personalisierter Zahlentiere) als didaktische Hilfsmittel eingesetzt.

Kinder der Alterstufe von drei bis sechs Jahren betrachten die Dinge um sich herum wesentlich stärker emotional als rational und sie haben ihre eigene, altersbedingte kognitive Erlebnis- und Denkweise. Daher kommt es, dass sie Gegenständen Gefühle, Leben und Absichten unterstellen. Die Dinge der kindlichen Umwelt sind entweder brav oder böse, freundlich oder unfreundlich, sie schauen für das Kind Vertrauen erweckend oder beängstigend aus.

Kinder in diesem Alter sind außerdem vom magischen und finalistischen Denken geprägt. Dabei werden Vorgänge, die eine logische Ursache haben, als geheimnisvoll erlebt und so gedeutet, als könne man sie durch Zauberei, durch Magie und vor allem durch eigene Wünsche beeinflussen. Alles, was geschieht, hat einen bestimmten Zweck oder verfolgt eine bestimmte Absicht.

Vor diesem entwicklungspsychologischen Hintergrund kann es beim Thema „Mathematik im Kindergarten“ nicht darum gehen, Inhalte des Grundschulunterrichts in typisch „fachlich orientierter“ Manier vorwegzunehmen. Uns geht es vielmehr darum, Kindern einen altersgemäßen Zugang zur Welt der Zahlen anzubieten. Vor diesem Hintergrund wird deutlich, warum der methodische Weg, die Grundlagen der elementaren Mathematik in eine fantasievolle Welt zu projizieren, für die Kinder eine große Motivation darstellt.

Ergebnisse
In unserer wissenschaftlichen Untersuchung ging es uns vor allem darum nachzuweisen, dass die Kinder durch eine solche Art der Förderung in zentralen schulrelevanten Kompetenzen einen nachhaltigen Gewinn zu verzeichnen haben.
Dass dieses Ansinnen nichts mit übertriebenem pädagogischen Ehrgeiz zu tun hat, wird dadurch untermauert, dass wir heute sehr genau wissen, dass die Anfänge des Zahlenverständnisses nicht erst mit dem systematischen Mathematikunterricht in der Grundschule beginnen, sondern weit in den Vorschulbereich hinein reichen. Dabei sprechen wir heute von so genannten schulischen Vorläuferfähigkeiten und meinen dabei für den Bereich der Mathematik insbesondere das mengen- und zahlenspezifische Vorwissen. Das sichere Beherrschen dieser Vorläuferkompetenzen, etwa die Fähigkeit zur Seriation (ein Element in eine vorgegebene Reihe einordnen), Mengenvergleiche (erkennen, dass die Anzahl einer Menge nicht durch die Anordnung der Elemente bestimmt wird), Zählfertigkeiten, einfache Rechenfertigkeiten mit konkretem Material und die Kenntnis der Zahlsymbole, ist eine wichtige Voraussetzung für die erfolgreiche Teilnahme am Mathematikunterricht in der ersten Klasse.
Und so ist es vielleicht auch nicht verwunderlich, dass die Ergebnisse unserer Studie sehr eindrucksvoll belegen, wie erfolgreich sich das Zahlenlandkonzept im Hinblick auf die Förderung mathematikspezifischer Lerninhalte erweist.

Das Zahlenlandkonzept wird inzwischen in sehr vielen Einrichtungen umgesetzt. Bei den Rückmeldungen, die wir erhalten, freut uns vor allem, dass wir neben Hinweisen, was jeweils aus unserem Konzept übernommen wurde, auch erfahren, was konzeptionell verändert und im Hinblick auf die spezifische Einrichtung jeweils verbessert wurde. Dies ist auch völlig in unserem Sinne, da es uns, neben der Erhebung der wissenschaftlichen Daten, in zentraler Weise darum geht, Erzieher(innen) zu ermutigen, sich dem Thema der frühen mathematischen Bildung anzunehmen. Allen Antworten gemeinsam ist jedoch die Auskunft darüber, dass die Hauptpersonen, unsere Kinder also, sich mittels des Zahlenlandkonzeptes die Welt der Zahlen mit unglaublich großer Freude erschließen.

Informationen unter www.ifvl.de.

PD Dr. Gerhard Friedrich ist Dipl.-Pädagoge und Lehrer für die Fächer Mathematik, Technik, Pädagogik und Psychologie.